根据我所了解的信息，湖北大学教师公寓是为该校的教职工提供住宿的地方。因此，教师公寓可能会有一些相关的业务。例如，管理教师公寓的工作人员可能负责公寓的分配和维护，包括房屋的清洁、维修和安全管理等。此外，他们可能还负责收取租金或管理公寓的相关费用。

教师公寓的业务可能还包括提供相关的服务设施，如停车场、娱乐设施或社区活动等，以满足教职工的日常需求。请注意，具体的业务情况可能会因时间和地点而有所不同，建议您向湖北大学相关部门咨询以获取准确的信息。