在写未签合同辞职申请书时，应该表达自己的决定和原因，说明尽快离职的意愿，并表示感谢企业在自己加入期间的关照和培养。同时，要询问企业是否需要接手自己留下的工作，以确保部门运转顺利。需要提醒的是，即使没有签署合同，也要注意遵守公司规定和法律法规。