一般来说，八十岁老人完全可以自己在银行存钱。银行在开立银行账户时并没有规定年龄限制，只要您拥有合法的身份证件和满足银行的要求，都可以在银行开立账户并进行存取款等操作。

不过，由于老年人可能存在记忆力减退等问题，建议老年人在存款时要特别小心。可以让家人或者监护人协助管理账户，或者选择开立定期存款等较为安全的存款方式。同时，还要注意保管好个人身份证明文件和银行卡，避免丢失或者被盗用。